Conceitos básicos de conjuntos [página 15]
Definição
Toda coleção bem definida de objetos, não importa a natureza, considerados globalmente.
Um conjunto é representado da seguinte forma: $A = \{a,b,c,d\}$. Onde as letras maiúsculas designam os conjuntos e as letras minúsculas os elementos do conjunto.
Exemplos:
$EstadosA = \{Acre,Alagoas,Amapa\}$
$\mathbb{N} = \{1,2,3,4,...\}$
$\mathbb{Z} = \{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}$
$F = \{\{2,3\},\{2\},\{5,6\}\}$
Os conjuntos podem ser definidos de maneira enumerativa ou através de um critério de pertinência.
Exemplos:
Critério de pertinência.
$A = \{x \mid x \in U \wedge p(x) \}$
$P = \{x \mid$ x é par $\}$
$\mathbb{Z}^{*} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ne 0 \}$
Para designar que um elemento pertence a um determinado conjunto A usamos o símbolo $\in$.
Exemplos:
$Acre \in EstadosA$
$Ceara \not\in EstadosA$
Existem dois conjuntos especiais, os conjuntos unitários e o conjunto vazio.
Exemplos:
$X = \{x \in \mathbb{N} \mid x + 1 = 0 \} = \emptyset$
$\{x \in \mathbb{N} \mid 3 < x < 5 \}$
Exemplos em Latex:
X = \{x \in \mathbb{N} \mid x + 1 = 0 \} = \emptyset
\{x \in \mathbb{N} \mid 3 < x < 5 \}
Operações com conjuntos
Interseção [página 53]
Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.
Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $A \cap B = \{ x \mid x \in A \wedge x \in B \}$. Assim podemos definir a relação de pertinência da seguinte forma $x \in A \cap B \iff x \in A \wedge x \in B$.
Exemplos:
$\{1,2,3,4\} \cap \{3,4,5,6\} = \{3,4\}$
$\{3,5,7\} \cap \{2,4,6\} = \emptyset$
Exemplos em Latex:
\{1,2,3,4\} \cap \{3,4,5,6\} = \{3,4\}
\{3,5,7\} \cap \{2,4,6\} = \emptyset
Algumas das propriedades da interseção:
- Idempotente: $A \cap A = A$
- Comutativa: $A \cap B = B \cap A$
- Associativa: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
União [página 62]
Chama-se união de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B.
Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $A \cup B = \{ x \mid x \in A \vee x \in B \}$. Assim podemos definir a relação de pertinência da seguinte forma $x \in A \cup B \iff x \in A \vee x \in B$.
Exemplos:
$\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$
$\{1,2\} \cup \{\{1,2\}\} = \{1,2, \{1,2\}\}$
$A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$
$B = \{x \in \mathbb{N} \mid 10 < y < 13\}$
$A \cup B = \{z \in \mathbb{N} \mid z < 5 \vee 10 < z < 13\} = \{1,2,3,4,11,12\}$
Exemplos em Latex:
\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}
\{1,2\} \cup \{\{1,2\}\} = \{1,2, \{1,2\}\}
Algumas das propriedades da união:
- Idempotente: $A \cup A = A$
- Comutativa: $A \cup B = B \cup A$
- Associativa: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
Algumas das propriedades da interseção e da união:
- Leis da absorção: $A \cap (A \cup B) = A, A \cup (A \cap B) = A$
- Distributividade da interseção em relação à união: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
- Distributividade da união em relação à interseção: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
- Leis de DE MORGAN: $(A \cap B)' = A' \cup B' , (A \cup B)' = A' \cap B'$
Diferença de conjuntos [página 75]
Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B.
Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $A - B = \{ x \mid x \in A \wedge x \not\in B \}$. Assim podemos definir a relação de pertinência da seguinte forma $x \in A - B \iff x \in A \wedge x \not\in B$.
Uma outra notação utilizada é \.
Exemplos:
$\{1,2,3,4,5\} - \{4,5,6,7\} = \{1,2,3\}$
$\{1,2\} - \{1,2\} = \emptyset$
Exemplos em Latex:
\{1,2,3,4,5\} - \{4,5,6,7\} = \{1,2,3\}
\{1,2\} - \{1,2\} = \emptyset
É importante notar que a diferença de conjuntos não é uma relação comutativa, logo $A-B \ne B-A$.
Comparação de conjuntos
Igualdade de conjuntos [página 35]
Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se e somente se todo elemento que pertence a um deles também pertence ao outro.
Podemos dar uma definição usando a lógica da seguinte forma: $A = B \iff \forall x \mid x \in A \iff x \in B$. Ainda podemos que A não é igual a B da seguinte forma: $A \ne B \iff (\exists x \mid x \in A \wedge x \not\in B) \vee (\exists y \mid y \in B \wedge y \not\in A)$.
Exemplos:
$\{5,6,7\} = \{7,6,5\}$
$\{1,2\} \ne \{2,4,6\}$
Exemplos em Latex:
\{5,6,7\} = \{7,6,5\}
\{1,2\} \ne \{2,4,6\}
Algumas das propriedades da igualdade dos conjuntos:
- Reflexiva: $A = A$
- Simétrica: $A = B \Longrightarrow B = A$
- Transitiva: $A = B \wedge B = C \Longrightarrow B = C$
Inclusão [página 36]
Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A também é um elemento de B.
Podemos dar uma definição usando a lógica da seguinte forma: $A \subseteq B \iff \forall x \mid x \in A \Longrightarrow x \in B$. Ainda podemos que A não esta contido em B da seguinte forma: $A \not\subseteq B \iff \exists x \mid x \in A \wedge x \not\in B$.
Exemplos:
$\{1,2\} \subseteq \{1,2,5\}$
$\{1,5,7\} \subseteq \{7,1,5\}$
Exemplos em Latex:
\{1,2\} \subseteq \{1,2,5\}
\{1,5,7\} \subseteq \{7,1,5\}
Algumas das propriedades da igualdade dos conjuntos:
- Reflexiva: $A \subseteq A$
- Transitiva: $A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Longrightarrow A \subseteq C$
- Anti-simétrica: $A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Longrightarrow A = B$
- O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A: $\forall A \mid \emptyset \subseteq A$
Inclusão estrita
$\forall A,B \mid A \subset B \iff A \subseteq B \wedge A \ne B$
Exemplos:
$\{1,2\} \subset \{1,2,5\}$
$\{1,5,7\} \not\subset \{7,1,5\}$
Exemplos em Latex:
\{1,2\} \subset \{1,2,5\}
\{1,5,7\} \not\subset \{7,1,5\}
Subconjuntos de um conjunto finito[página 44]
Exemplo:
$\{1,2,3\}$, logo $\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$.
Teorema:
Todo conjunto finito com n elementos tem $2^{n}$ subconjuntos.
Conjunto das partes de um conjunto
Chama-se conjunto das partes de um conjunto E o conjunto cujos elementos são todas as partes de E, inclusive a parte cheia E e a parte vazia E (partes triviais de E).
Podemos dar uma definição usando a lógica da seguinte forma: $\mathcal{P}(E) = \{X | X \subseteq E \}$.
Exemplos:
$\mathcal{P}(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\}$
$\mathcal{P}(\{a,b\}) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{a,b\}\}$
$\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}$
Exemplos em Latex:
\mathcal{P}(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\}
\mathcal{P}(\{a,b\}) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{a,b\}\}
Teorema
Quaisquer que sejam os conjuntos E e F, tem-se: $E \subseteq F \iff P(E) \subseteq P(F)$.
Produto Cartesiano [1]
Par Ordenado [página 85]
Dados dois elementos, x e y, chama-se par ordenado um terceiro elemento que se indica por (x,y), podendo ser y igual a x (y = x).
Igualdade de pares ordenados.
Dois pares ordenados (x,y) e (x',y') dizem-se iguais se e somente se x = x' e y = y'.
Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $(x,y) = (x',y') \iff x = x' \wedge y = y'$. Em particular $(x,y) = (y,x) \iff x = y$.
Produto cartesiano de dois conjuntos [página 87]
Chama-se produto cartesiano de A por B ou apenas produto de A por B ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que o primeiro elemento x pertence a A e o segundo elemento y pertence a B.
Podemos definir através da lógica na seguinte forma: $A \times B = \{(x,y) \mid x \in A \wedge y \in B\}$.
Sendo $B \ne A$ segue que $A \times B \ne B \times A$. Logo o produto cartesiano de dois conjuntos não é uma relação comutativa.
O número de elementos de $A \times B$ é igual a $n(A).n(B)$.
Algumas das propriedades do produto cartesiano:
- $A \times B = \emptyset \iff A = \emptyset \vee B = \emptyset$
- $A \times B = B \times A \iff A = \emptyset \vee B = \emptyset \vee A = B$
- $A \subseteq B \Longrightarrow (A \times C \subseteq B \times C \wedge C \times A \subseteq C \times B)$
- $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$, $(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$
- $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$, $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$
Exemplos:
$A = \{a, b\}$
$B = \{1, 2\}$
$A \times B = \{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)\}$
$B \times A = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\}$
Exemplos em Latex:
A \times B = \{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)\}
B \times A = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\}
Produto cartesiano de n conjuntos
Chama-se produto cartesiano ou apenas produtos dos n conjuntos $A_1, A_2,...,A_n$ , pela ordem em que estão escritos, ao conjuntos de todas as n-uplas $(x_1,x_2,...,x_n)$ tais que $x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, ... , x_n \in A_n$. Este conjunto produto representa-se pela notação: $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$.
