Teoria dos Conjuntos

Conceitos básicos de conjuntos [página 15]

Definição

Toda coleção bem definida de objetos, não importa a natureza, considerados globalmente.

Um conjunto é representado da seguinte forma: $A = \{a,b,c,d\}$. Onde as letras maiúsculas designam os conjuntos e as letras minúsculas os elementos do conjunto.

Exemplos:
$EstadosA = \{Acre,Alagoas,Amapa\}$
$\mathbb{N} = \{1,2,3,4,...\}$
$\mathbb{Z} = \{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}$
$F = \{\{2,3\},\{2\},\{5,6\}\}$

Os conjuntos podem ser definidos de maneira enumerativa ou através de um critério de pertinência.

Exemplos:
Critério de pertinência.
$A = \{x \mid x \in U \wedge p(x) \}$
$P = \{x \mid$ x é par $\}$
$\mathbb{Z}^{*} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ne 0 \}$

Para designar que um elemento pertence a um determinado conjunto A usamos o símbolo $\in$.

Exemplos:
$Acre \in EstadosA$
$Ceara \not\in EstadosA$

Existem dois conjuntos especiais, os conjuntos unitários e o conjunto vazio.

Exemplos:
$X = \{x \in \mathbb{N} \mid x + 1 = 0 \} = \emptyset$
$\{x \in \mathbb{N} \mid 3 < x < 5 \}$

Exemplos em Latex:

X = \{x \in \mathbb{N} \mid x + 1 = 0 \} = \emptyset
\{x \in \mathbb{N} \mid 3 < x < 5 \}

Operações com conjuntos

Interseção [página 53]

Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.

Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $A \cap B = \{ x \mid x \in A \wedge x \in B \}$. Assim podemos definir a relação de pertinência da seguinte forma $x \in A \cap B \iff x \in A \wedge x \in B$.

Exemplos:
$\{1,2,3,4\} \cap \{3,4,5,6\} = \{3,4\}$
$\{3,5,7\} \cap \{2,4,6\} = \emptyset$

Exemplos em Latex:

\{1,2,3,4\} \cap \{3,4,5,6\} = \{3,4\}
\{3,5,7\} \cap \{2,4,6\} = \emptyset

Algumas das propriedades da interseção:

  • Idempotente: $A \cap A = A$
  • Comutativa: $A \cap B = B \cap A$
  • Associativa: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

União [página 62]

Chama-se união de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B.

Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $A \cup B = \{ x \mid x \in A \vee x \in B \}$. Assim podemos definir a relação de pertinência da seguinte forma $x \in A \cup B \iff x \in A \vee x \in B$.

Exemplos:
$\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$
$\{1,2\} \cup \{\{1,2\}\} = \{1,2, \{1,2\}\}$

$A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$
$B = \{x \in \mathbb{N} \mid 10 < y < 13\}$
$A \cup B = \{z \in \mathbb{N} \mid z < 5 \vee 10 < z < 13\} = \{1,2,3,4,11,12\}$

Exemplos em Latex:

\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}
\{1,2\} \cup \{\{1,2\}\} = \{1,2, \{1,2\}\}

Algumas das propriedades da união:

  • Idempotente: $A \cup A = A$
  • Comutativa: $A \cup B = B \cup A$
  • Associativa: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

Algumas das propriedades da interseção e da união:

  • Leis da absorção: $A \cap (A \cup B) = A, A \cup (A \cap B) = A$
  • Distributividade da interseção em relação à união: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
  • Distributividade da união em relação à interseção: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
  • Leis de DE MORGAN: $(A \cap B)' = A' \cup B' , (A \cup B)' = A' \cap B'$

Diferença de conjuntos [página 75]

Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B.

Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $A - B = \{ x \mid x \in A \wedge x \not\in B \}$. Assim podemos definir a relação de pertinência da seguinte forma $x \in A - B \iff x \in A \wedge x \not\in B$.
Uma outra notação utilizada é \.

Exemplos:
$\{1,2,3,4,5\} - \{4,5,6,7\} = \{1,2,3\}$
$\{1,2\} - \{1,2\} = \emptyset$

Exemplos em Latex:

\{1,2,3,4,5\} - \{4,5,6,7\} = \{1,2,3\}
\{1,2\} - \{1,2\} = \emptyset

É importante notar que a diferença de conjuntos não é uma relação comutativa, logo $A-B \ne B-A$.

Comparação de conjuntos

Igualdade de conjuntos [página 35]

Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se e somente se todo elemento que pertence a um deles também pertence ao outro.

Podemos dar uma definição usando a lógica da seguinte forma: $A = B \iff \forall x \mid x \in A \iff x \in B$. Ainda podemos que A não é igual a B da seguinte forma: $A \ne B \iff (\exists x \mid x \in A \wedge x \not\in B) \vee (\exists y \mid y \in B \wedge y \not\in A)$.

Exemplos:
$\{5,6,7\} = \{7,6,5\}$
$\{1,2\} \ne \{2,4,6\}$

Exemplos em Latex:

\{5,6,7\} = \{7,6,5\}
\{1,2\} \ne \{2,4,6\}

Algumas das propriedades da igualdade dos conjuntos:

  • Reflexiva: $A = A$
  • Simétrica: $A = B \Longrightarrow B = A$
  • Transitiva: $A = B \wedge B = C \Longrightarrow B = C$

Inclusão [página 36]

Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A também é um elemento de B.

Podemos dar uma definição usando a lógica da seguinte forma: $A \subseteq B \iff \forall x \mid x \in A \Longrightarrow x \in B$. Ainda podemos que A não esta contido em B da seguinte forma: $A \not\subseteq B \iff \exists x \mid x \in A \wedge x \not\in B$.

Exemplos:
$\{1,2\} \subseteq \{1,2,5\}$
$\{1,5,7\} \subseteq \{7,1,5\}$

Exemplos em Latex:

\{1,2\} \subseteq \{1,2,5\}
\{1,5,7\} \subseteq \{7,1,5\}

Algumas das propriedades da igualdade dos conjuntos:

  • Reflexiva: $A \subseteq A$
  • Transitiva: $A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Longrightarrow A \subseteq C$
  • Anti-simétrica: $A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Longrightarrow A = B$
  • O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A: $\forall A \mid \emptyset \subseteq A$

Inclusão estrita

$\forall A,B \mid A \subset B \iff A \subseteq B \wedge A \ne B$

Exemplos:
$\{1,2\} \subset \{1,2,5\}$
$\{1,5,7\} \not\subset \{7,1,5\}$

Exemplos em Latex:

\{1,2\} \subset \{1,2,5\}
\{1,5,7\} \not\subset \{7,1,5\}

Subconjuntos de um conjunto finito[página 44]

Exemplo:
$\{1,2,3\}$, logo $\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$.

Teorema:

Todo conjunto finito com n elementos tem $2^{n}$ subconjuntos.

Conjunto das partes de um conjunto

Chama-se conjunto das partes de um conjunto E o conjunto cujos elementos são todas as partes de E, inclusive a parte cheia E e a parte vazia E (partes triviais de E).

Podemos dar uma definição usando a lógica da seguinte forma: $\mathcal{P}(E) = \{X | X \subseteq E \}$.

Exemplos:
$\mathcal{P}(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\}$
$\mathcal{P}(\{a,b\}) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{a,b\}\}$
$\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}$

Exemplos em Latex:

\mathcal{P}(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\}
\mathcal{P}(\{a,b\}) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{a,b\}\}

Teorema

Quaisquer que sejam os conjuntos E e F, tem-se: $E \subseteq F \iff P(E) \subseteq P(F)$.

Produto Cartesiano [1]

Par Ordenado [página 85]

Dados dois elementos, x e y, chama-se par ordenado um terceiro elemento que se indica por (x,y), podendo ser y igual a x (y = x).

Igualdade de pares ordenados.

Dois pares ordenados (x,y) e (x',y') dizem-se iguais se e somente se x = x' e y = y'.

Uma definição usando a lógica pode ser dada na seguinte forma: $(x,y) = (x',y') \iff x = x' \wedge y = y'$. Em particular $(x,y) = (y,x) \iff x = y$.

Produto cartesiano de dois conjuntos [página 87]

Chama-se produto cartesiano de A por B ou apenas produto de A por B ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que o primeiro elemento x pertence a A e o segundo elemento y pertence a B.

Podemos definir através da lógica na seguinte forma: $A \times B = \{(x,y) \mid x \in A \wedge y \in B\}$.

Sendo $B \ne A$ segue que $A \times B \ne B \times A$. Logo o produto cartesiano de dois conjuntos não é uma relação comutativa.

O número de elementos de $A \times B$ é igual a $n(A).n(B)$.

Algumas das propriedades do produto cartesiano:

  • $A \times B = \emptyset \iff A = \emptyset \vee B = \emptyset$
  • $A \times B = B \times A \iff A = \emptyset \vee B = \emptyset \vee A = B$
  • $A \subseteq B \Longrightarrow (A \times C \subseteq B \times C \wedge C \times A \subseteq C \times B)$
  • $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$, $(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$
  • $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$, $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

Exemplos:
$A = \{a, b\}$
$B = \{1, 2\}$
$A \times B = \{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)\}$
$B \times A = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\}$

Exemplos em Latex:

A \times B = \{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)\}
B \times A = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\}

Produto cartesiano de n conjuntos

Chama-se produto cartesiano ou apenas produtos dos n conjuntos $A_1, A_2,...,A_n$ , pela ordem em que estão escritos, ao conjuntos de todas as n-uplas $(x_1,x_2,...,x_n)$ tais que $x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, ... , x_n \in A_n$. Este conjunto produto representa-se pela notação: $A_1 \times A_2 \times ... \times A_n$.

Bibliography
1. Filho, Edgard de Alencar. Teoria Elementar dos Conjuntos. Editora Nobel, São Paulo. 1985.
2. Castrucci, Benedito. Elementos de Teoria dos Conjuntos. Editora Nobel. São Paulo. 1969.

Exercícios

Ver Exercícios Teoria dos Conjuntos

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